確率 練習問題6

1. 太郎と花子は 12 時から 13 時の間に日吉駅で会う約束をしている. 彼らは午前中に用事 があるためいつ到着するかは定かではない. 太郎の到着時間 X と花子の到着時間 Y は それぞれ独立に一様分布 U (0, 60) に従うものとする. (例えば X = 20 の時, 太郎は 12 時 20 分にくることを意味する). 太郎は到着後 20 分, 花子は到着後 10 分待つものとし, そ の間にもし会えなかったら駅を出発するものとする (13 時には必ず出発する). 彼らが出 会える確率を求めなさい. ※ちなみに太郎と花子は携帯電話などは持ってなくてお互いにコミュニケーションが取 れないことは前提としている. なので携帯で連絡取れば確率 1 で出会えると答えても不 正解である.

2. 確率変数X,Y の同時密度関数は以下で与えられる.

f(x,y) = { x+y if 0≤x,y≤1
             0 otherwise

(1) P(Y ≤ 2X) を求めなさい. 答えが少数の時は小数点第 3 位を四捨五入したもので 答えなさい. (例: 1.234 → 1.23, 1.235 → 1.24, 1.3 → 1.3, 1.298 → 1.3)

(2) X と Y の共分散を求めなさい. 答えが少数の時は小数点第 5 位を四捨五入したも ので答えなさい. (例: 0.11115 → 0.1112, 0.11114 → 0.1111, 0.11198 → 0.111 )

3. 確率変数X,Y の同時密度関数は以下で与えられる.

f(x,y) = { e−2x−y + e−x−2y if x, y ≥ 0
             0  otherwise

答えが少数の時は小数点第 3 位を四捨五入したもので答えなさい. (例: 1.234 → 1.23, 1.235 → 1.24, 1.3 → 1.3, 1.298 → 1.3) また, e = 2.7182 として計算しなさい.

(1) P(X+Y ≤1)を求めなさい.

(2) X と Y の共分散を求めなさい.

4. (1)

確率変数 X, Y の同時密度関数は以下で与えられる.

f(x,y) = { 4xy if 0≤x,y≤1
             0 otherwise

X と Y は独立か?

(2) 確率変数X,Y の同時密度関数は以下で与えられる.

f(x,y) = { 1
             8xy if 0≤x≤y≤1
             0 otherwise

(3) 確率変数 X, Y は (2) で与えらえる同時密度関数に従うとする. この時, E[X|Y = 1/2 ] を求めなさい. 答えが少数の時は小数点第 3 位を四捨五入したもので答えなさい. (例: 1.234 → 1.23, 1.235 → 1.24, 1.3 → 1.3, 1.298 → 1.3)

5. 2 つの機械 A, B がある. 機械 A が故障するまでの時間 X はパラメータ 1(つまり α = 1) の指数分布に従うものとし, 機械 B が故障するまでの時間 Y はパラメータ 2(つまり α = 2) の指数分布に従うものとし, X と Y は独立であるとする. 以下の問いに答えなさ い (指数分布の期待値は既知のものとして良い). 答えが少数の時は小数点第 3 位を四捨五入したもので答えなさい. (例: 1.234 → 1.23, 1.235 → 1.24, 1.3 → 1.3, 1.298 → 1.3)

(1) 機械 A が先に故障する確率を求めなさい.

(2) どちらかの機械が故障するまでに掛かる時間の期待値を求めなさい.